Найти наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных. §9 Экстремум функции двух переменных

Теорема 1.5 Пусть в замкнутой области D задана функцияz=z(x,y) , имеющая непрерывные частные производные первого порядка. Граница Г области D является кусочно гладкой (т. е. состоит из кусков "гладких на ощупь" кривых или прямых). Тогда в области D функция z (x,y) достигает своего наибольшего M и наименьшего m значений.

Без доказательства.

Можно предложить следующий план нахождения M и m .
1. Строим чертёж, выделяем все части границы области D и находим все "угловые" точки границы.
2. Находим стационарные точки внутри D .
3. Находим стационарные точки на каждой из границ.
4. Вычисляем во всех стационарных и угловых точках, а затем выбираем наибольшее M и наименьшее m значения.

Пример 1.14 Найти наибольшее M и наименьшее m значения функции z = 4x2-2xy+y2-8x в замкнутой области D , ограниченной: x = 0, y = 0, 4x+3y=12 .

1. Построим область D (рис. 1.5) на плоскости Оху .

Угловые точки: О (0; 0), В (0; 4), А (3; 0) .

Граница Г области D состоит из трёх частей:

2. Найдём стационарные точки внутри области D :

3. Стационарные точки на границах l 1 , l 2 , l 3 :

4. Вычисляем шесть значений:

Примеры

Пример 1.

Данная функция определена при всех значениях переменных x и y , кроме начала координат, где знаменатель обращается в нуль.

Многочлен x 2 +y 2 непрерывен всюду, а значит и непрерывен корень квадратный из непрерывной функции.

Дробь же будет непрерывной всюду, кроме точек, где знаменатель равен нулю. То есть рассматриваемая функция непрерывна на всей координатной плоскости Оху , исключая начало координат.

Пример 2.

Исследовать на непрерывность функцию z=tg (x,y) . Тангенс определен и непрерывен при всех конечных значениях аргумента, кроме значений, равных нечетному числу величины π /2 , т.е. исключая точки, где

При каждом фиксированном "k" уравнение (1.11) определяет гиперболу. Поэтому рассматриваемая функция является непрерывной функцией x и y , исключая точки, лежащие на кривых (1.11).

Пример 3.

Найти частные производные функции u=z -xy , z > 0 .

Пример 4.

Показать, что функция

удовлетворяет тождеству:

– данное равенство справедливо для всех точек М(х;у;z) , кроме точки М 0 (a;b;c) .

Рассмотрим функцию z=f(х,у) двух независимых переменных и установим геометрический смысл частных переменных z" x =f" x (х,у) и z" y =f" y (х,у) .

В этом случае уравнение z=f (х,у) есть уравнение некоторой поверхности (рис.1.3). Проведем плоскость y = const . В сечении этой плоскостью поверхности z=f (х,у) получится некоторая линия l 1 пересечения, вдоль которой изменяются лишь величины х и z .

Частная производная z" x (её геометрический смысл непосредственно следует из известного нам геометрического смысла производной функции одной переменной) численно равна тангенсу угла α наклона, по отношению к оси Ох , касательной L 1 к кривой l 1 , получающейся в сечении поверхности z=f (х,у) плоскостью y = const в точке М(х,у,f(xy)): z" x = tgα .

В сечении же поверхности z=f (х,у) плоскостью х = const получится линия пересечения l 2 , вдоль которой изменяются лишь величины у и z . Тогда частная производная z" y численно равна тангенсу угла β наклона по отношению к оси Оу , касательной L 2 к указанной линии l 2 пересечения в точке М(х,у,f(xy)): z" x = tgβ .

Пример 5.

Какой угол образует с осью Ох касательная к линии:

в точке М(2,4,5) ?

Используем геометрический смысл частной производной по переменной х (при постоянном у ):

Пример 6.

Согласно (1.31):

Пример 7.

Считая, что уравнение

неявно задаёт функцию

найти z" x , z" y .

поэтому согласно (1.37) получаем ответ.

Пример 8.

Исследовать на экстремум:

1. Найдём стационарные точки, решая систему (1.41):

то есть найдены четыре стационарные точки.
2.

по теореме 1.4 в точке – минимум.

Причём

4. Вычисляем шесть значений:

Из полученных шести значений выбираем наибольшее и наименьшее.

Список литературы:

ü Белько И. В., Кузьмич К. К. Высшая математика для экономистов. I семестр: Экспресс-курс. – М.: Новое знание, 2002. – 140 с.

ü Гусак А. А.. Математический анализ и дифференциальные уравне-ния.– Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 416 с.

ü Гусак А. А.. Высшая математика. Учебное пособие для студентов вузов в 2-х томах. – Мн., 1998. – 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).

ü Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н. Ш. Кремера.– М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.

ü Яблонский А. И., Кузнецов А. В., Шилкина Е. И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С. А. Самаля.– Мн.: Выш. шк., 2000. – 351 с.

В июле 2020 года NASA запускает экспедицию на Марс. Космический аппарат доставит на Марс электронный носитель с именами всех зарегистрированных участников экспедиции.

Регистрация участников открыта. Получите свой билет на Марс по этой ссылке .

Если этот пост решил вашу проблему или просто понравился вам, поделитесь ссылкой на него со своими друзьями в социальных сетях.

Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.

Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.

Очередной канун Нового Года... морозная погода и снежинки на оконном стекле... Все это побудило меня вновь написать о... фракталах, и о том, что знает об этом Вольфрам Альфа. По этому поводу есть интересная статья , в которой имеются примеры двумерных фрактальных структур. Здесь же мы рассмотрим более сложные примеры трехмерных фракталов.

Фрактал можно наглядно представить (описать), как геометрическую фигуру или тело (имея ввиду, что и то и другое есть множество, в данном случае, множество точек), детали которой имеют такую же форму, как и сама исходная фигура. То есть, это самоподобная структура, рассматривая детали которой при увеличении, мы будем видеть ту же самую форму, что и без увеличения. Тогда как в случае обычной геометрической фигуры (не фрактала), при увеличении мы увидим детали, которые имеют более простую форму, чем сама исходная фигура. Например, при достаточно большом увеличении часть эллипса выглядит, как отрезок прямой. С фракталами такого не происходит: при любом их увеличении мы снова увидим ту же самую сложную форму, которая с каждым увеличением будет повторяться снова и снова.

Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot), основоположник науки о фракталах, в своей статье Фракталы и искусство во имя науки написал: "Фракталы - это геометрические формы, которые в равной степени сложны в своих деталях, как и в своей общей форме. То есть, если часть фрактала будет увеличена до размера целого, она будет выглядеть, как целое, или в точности, или, возможно, с небольшой деформацией".

Функции нескольких переменных

1. Основные определения

Определение 1. Соответствие, которое каждой паре (x; y) значений переменных x и y, принадлежащей некоторому множеству пар D, сопоставляет одно и только одно число zÎR, называется функцией двух переменных, определенной на множестве D со значениями в R. При этом пишут z = f(x;y). D = D(f) – область определения функции f.

2. Частные и полное приращения функции двух переменных

Если в функции z = f(x; y) двух переменных x и y зафиксировать значение одной из них, например y = y 0 , то получим функцию z = f(x; y 0), зависящую от одной переменной х.

Аналогично, если зафиксировать переменную x = x 0 , получим функцию z = f(x 0 ; y) одной переменной у.

Определение 2. Величина D x z = f(x 0 +Dx; y 0) - f(x 0 ; y 0) называется частным приращением функции z = f(x; y) в точке (x 0 ; y 0) по аргументу х.

Определение 3. Величина D y z = f(x 0 ; y 0 +Dy) - f(x 0 ; y 0) называется частным приращением функции z = f(x; y) в точке (x 0 ; y 0) по аргументу y.

Определение 4. Величина Dz = f(x 0 +Dx; y 0 +Dy) - f(x 0 ; y 0) называется полным приращением функции z = f(x; y) в точке (x 0 ; y 0).

3. Частные производные функции двух переменных

Пусть дана функция z = f(x; y) двух независимых переменных x и y. Фиксируя одну из них, например, полагая у = const, приходим к функции одной переменной x. Тогда можно ввести понятие производной полученной функции по x, которую обозначим . Согласно определению производной функции одной переменной имеем:

Определение 5. Предел отношения частного приращения D x z функции z=f(x; y) по переменной x к приращению Dx переменной x при Dx, стремящимся к нулю, называется частной производной функции по x и обозначается ; ;

Аналогично определяется и обозначается частная производная функции z = f(x; y) по переменной y.

Пример 1. Найти частные производные функций:

1. f(x; y) = x 3 + x 2 y 2 + y 3 + 3;

2. z = x y + y x .

Решение

1. Полагая y = const, и считая при этом x независимой переменной, найдем

Аналогично при x = const, получим .

2. При y = const

;

при x = const

Все сказанное можно распространить на функции любого числа переменных.

Пример 2. Найти частные производные функции

u = f(x; y; z) = cos(x 2 + y 2 + z 2).

Решение

Sin(x 2 + y 2 + z 2) × 2x, y = const, z = const;

Sin(x 2 + y 2 + z 2) × 2y, x = const, z = const;

Sin(x 2 + y 2 + z 2) × 2z, x = const, y = const.

Поскольку частные производные от функции нескольких переменных также являются, вообще говоря, функциями нескольких переменных, то для них можно также вычислять частные производные. Эти производные называют частными производными высших порядков .

Например, для функции f(x; y) двух переменных имеются следующие типы производных второго порядка:

- вторая частная производная по x;

и = - смешанные частные производные

- вторая частная производная по у.

4. Полный дифференциал функции двух переменных

Определение 6. Полным дифференциалом функции z=f(x;y) двух переменных x и y называется главная часть полного приращения Dz, линейная относительно приращений аргументов Dx и Dy.

C учетом того, что Dx = dx и Dy = dy полный дифференциал функции z = f(x; y) вычисляется по формуле

Пример 3. Вычислить полный дифференциал функции

z = ln (x 2 + y 2).

Решение . Найдем частные производные и данной функции

После их подстановки в формулу (3.5) получим

dz =

Найти частные производные функций

284. z = x 2 + 2xy + y 2 + 5 285. z = (x + y) 3

286. z = 287. z =

288. z = x 3 y - y 3 x 289. z = 2y

290. z = x y ln(x + y) 291. z = ln

292. z = ln + ln x·y 293. z =

294. z = e y/x – e x/y 295. z = x y + sin

296. z = sin(x 2 y + xy 2) 297. z = y x + arctg

Найти частные производные второго порядка

298. z = x 4 + 4x 2 y 3 + 7xy + 1 299. z = x 2 y

300. z = 4x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 – y 3 301. z = xy + sin(x + y)

302. z = sin x cos y 303. z =

304. z = xe y 305. z = x + y +

306. z = x 2y 307. z = ln(x + e xy)

Проверить, что

308. z = 309. z = ln(x - 2y)

310. z = 311. z = x 2 sin

312. z = 313. z = arctg

Найти полный дифференциал функций

314. z = xy 3 - 3x 2 y 2 + 2y 4 +1 315. z = 3x 2 y 5

316. z = sin(x 2 + y 2) 317. z = x y

318. z = e xy 319. z = e x cos y

320. z = e y cos x 321. z = cos + sin

5. Экстремумы функции двух переменных

Основные определения

Определение 1. Точка М(x 0 ; у 0) называется точкой максимума (минимума) функции z = f(x; y), если существует окрестность точки М, такая, что для всех точек (x; y) из этой окрестности выполняется неравенство:

f(x 0 ; y 0) ³ f(x; y), .

Теорема 1 (необходимое условие существования экстремума) . Если дифференцируемая функция z = f(x; y) достигает экстремума в точке М(x 0 ; y 0), то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т.е. ;

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными иликритическими точками.

Теорема 2 (достаточное условие существования экстремума)

Пусть функция z = f(x; y):

а) определена в некоторой окрестности точки (x 0 ; y 0), в которой и ;

б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка

;

Тогда, если D = АС - B 2 > 0, то в точке (x 0 ; y 0) функция z = f(x; y) имеет экстремум, причем, если А < 0 (или С < 0) – максимум, если А > 0 (или С > 0) – минимум. В случае D = АС - В 2 < 0, функция z = f(x; y) экстремума не имеет. Если D = AC - B 2 = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

Пример 1. Найти экстремум функции z = x 2 + xy + y 2 - 3x - 6y.

Решение . Найдем частные производные первого порядка:

Воспользуемся необходимым условием существования экстремума:

Решая систему уравнений, находим координаты x и y стационарных точек: x = 0; y = 3, т. е. М(0; 3).

Вычислим частные производные второго порядка и найдем их значения в точке М.

А = = 2; С = = 2;

Составим дискриминант D = АС - В 2 = 2 × 2 - 1 > 0, A = 2 > 0. Следовательно, в точке М(0; 3) заданная функция имеет минимум. Значение функции в этой точке z min = -9.

Найти экстремумы функций

322. z = x 2 + y 2 + xy - 4x - 5y 323. z = y 3 - x 3 - 3xy

324. z = x 2 - 2xy + 4y 3 325. z = - y 2 - x + 6y

326. z = x y (1 - x - y) 327. z = 2xy - 4x - 2y

328. z = e - x/2 (x + y 2) 329. z = x 3 + 8y 3 - 6xy + 1

330. z = 3x 2 y - x 3 - y 4 331. z = 3x + 6y - x 2 - xy + y 2

Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных

В замкнутой области

Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, надо:

1) найти критические точки, расположенные в данной области, и вычислить значения функции в этих точках;

2) найти критические точки на границе области и вычислить наибольшее и наименьшее значения функций в них;

3) из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = в круге x 2 + y 2 £ 1.

Решение . Найдем координаты критических точек, расположенных внутри рассматриваемой области, для чего вычислим частные производные первого порядка функции z и приравняем их к нулю.

откуда x = 0, y = 0 и, следовательно, М(0; 0) – критическая точка.

Вычислим значение функции z в точке М(0; 0): z(0; 0) = 2.

Найдем критические точки на границе области - окружности, заданной уравнением x 2 + y 2 = 1. Подставляя у 2 = 1 - x 2 в функцию z = z(x; y), получим функцию одной переменной

z = ;

причем xÎ[-1; 1].

Вычислив производную и приравняв ее нулю, получим критические точки на границе области x 1 = 0, x 2 = , x 3 =

Найдем значение функции z(x) = в критических точках и на концах отрезка [-1; 1]: z(0) = ; = ; ; z(-1) = ; z(1) =

Выберем наибольшее и наименьшее среди значений функции z в критических точках, расположенных внутри и на границе круга.

Итак, z наиб. = z(0; 0) = 2

z наим. = z

Условный экстремум

Определение 2. Условным экстремумом функции z = f(x; y) называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные x и y связаны уравнением j(x; y) = 0 (уравнение связи). , y = .

Таким образом, гипотенуза имеет наименьшее значение, если катеты треугольника равны между собой.

Найти наибольшее и наименьшее значения функций:

332. z = x 2 - xy + y 2 - 4x в замкнутой области, ограниченной прямыми x = 0, y = 0, 2x + 3y - 12 = 0.

333. z = xy + x + y в квадрате, ограниченном прямыми x = 1, x = 2, y = 2, y = 3.

334. z = x 2 + 3y 2 + x - y в треугольнике, ограниченном прямыми x = 1, y = 1, x + y = 1.

335. z = sin x + sin y + sin (x + y) в области 0 £ x £ , 0 £ y £ .

336. z = xy в круге x 2 + y 2 £ 1.

337. z = 1 - x 2 - y 2 в круге (x - 1) 2 + (y - 1) 2 £ 1.

338. z = x 2 + y 2 в круге (x - ) 2 + (y - ) 2 £ 9.

339. Найти экстремум функции z = x 2 + y 2 , если x и y связаны уравнением = 1.

340. Из всех треугольников, имеющих периметр Р, найти наибольший по площади.

341. Из всех прямоугольников с заданной площадью S найти такой, периметр которого имеет наименьшее значение.

342. Определить размеры открытого бассейна объемом V, имеющего наименьшую поверхность.

343. Найти размеры прямоугольного параллелепипеда, имеющего при данной полной поверхности S максимальный объем.

344. Определить размеры цилиндра наибольшего объема при условии, что его полная поверхность S = 6p.

* Под понятиями выпуклость и вогнутость графика функции следует понимать выпуклость вверх и вниз соответственно.

§ Экстремумы, Наибольшее и наименьшее значения функций нескольких переменных - страница №1/1

§ 8. Экстремумы, Наибольшее и наименьшее значения функций нескольких переменных. 1. Экстремумы функций нескольких переменных.

плоскости
,
– точка этой области.

Точка
называется точкой максимума функции
, если для любой точки

выполняется неравенство

.

Аналогично точка
называется точкой минимума функции
, если для любой точки
из некоторой окрестности точки
выполняется неравенство

.

Замечания . 1) По смыслу определений функция
должна быть определена в некоторой окрестности точки
. Т.е. точкой максимума и точкой минимума функции
могут быть только внутренние точки области
.

2) Если существует окрестность точки
, в которой для любой точки
отличной от
выполняется неравенство

(

), то точку
называют точкой строгого максимума (соответственно точкой строгого минимума ) функции
. В связи с этим, определенные выше точки максимума и минимума называют иногда точками нестрого максимума и минимума.

Точки максимума и минимума функции называются ее точками экстремума . Значения функции в точках максимума и минимума называются соответственно максимумами и минимумами , или, короче, экстремумами этой функции.

Понятия экстремумов носят локальный характер: значение функции в точке
сравнивается со значениями функции в достаточно близких точках. В данной области функция может совсем не иметь экстремумов, а может иметь несколько минимумов, несколько максимумов и даже бесчисленное множество и тех и других. При этом некоторые минимумы могут оказаться больше некоторых ее максимумов. Не следует смешивать максимумы и минимумы функции с ее наибольшим и наименьшим значениями.

Найдем необходимое условие экстремума. Пусть, например,
– точка максимума функции
. Тогда по определению существует gif" align=absmiddle width="17px" height="18px">-окрестность точки
такая, что
для любой точки
из этой окрестности. В частности,

(1)

где
,
, и

(2)

где
,
. Но (1) означает, что функция одной переменной
имеет в точке максимум или является на интервале
постоянной. Следовательно,

или
– не существует,

⇒
или
– не существует.

Аналогично из (2) получаем, что

или
– не существует.

Таким образом, справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 8.1. (необходимые условия экстремума). Если функция
в точке
имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю, либо хотя бы одна из этих частных производных не существует.

Геометрически теорема 8.1 означает, что если
– точка экстремума функции
, то касательная плоскость к графику этой функции в точке либо параллельна плоскости
, либо вообще не существует. Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить, как найти уравнение касательной плоскости к поверхности (см. формулу (4.6)).

Точки, удовлетворяющие условиям теоремы 8.1, называются критическими точками функции
. Также как и для функции одной переменной, необходимые условия экстремума не является достаточным. Т.е. не всякая критическая точка функции будет ее точкой экстремума.

ПРИМЕР. Рассмотрим функцию
. Точка
является для этой функции критической, так как в этой точке обе ее частные производные первого порядка
и
равны нулю. Однако она не будет точкой экстремума. Действительно,
, но в любой окрестности точки
есть точки, в которых функция принимает положительные значения и точки, в которых функция принимает отрицательные значения. В этом легко убедиться, если построить график функции – гиперболический параболоид.

Для функции двух переменных наиболее удобные достаточные условия дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 8.2. (достаточные условия экстремума функции двух переменных). Пусть
– критическая точка функции
и в некоторой окрестности точки
функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Обозначим

,
,
.

Тогда 1) если
, то точка
не является точкой экстремума;


Если с помощью теоремы 8.2 исследовать критическую точку
не удалось (т.е. если
или функция вообще не имеет в окрестности точки
непрерывных частных производных нужного порядка), ответ на вопрос о наличии в точке
экстремума даст знак приращения функции в этой точке.

Действительно, из определения следует, что если функция
имеет в точке
строгий максимум, то

для всех точек
из некоторой окрестности точки
, или, иначе

при всех достаточно малых
и
. Аналогично, если
– точка строгого минимума, то при всех достаточно малых
и
будет выполняться неравенство
.

Таким образом, чтобы выяснить, является ли критическая точка
точкой экстремума, необходимо исследовать приращение функции в этой точке. Если при всех достаточно малых
и
оно будет сохранять знак, то в точке
функция имеет строгий экстремум (минимум, если
, и максимум, если
).

Замечание . Правило остается верным и для нестрого экстремума, но с поправкой, что при некоторых значениях
и
приращение функции будет нулевым
ПРИМЕР. Найти экстремумы функций:

1)
; 2)
.

1) Функция

и
тоже существуют всюду. Решая систему уравнений
,
найдем две критические точки
и
.

Для исследования критических точек применим теорему 8.2. Имеем:

,
,
.

Исследуем точку
:

,
,
,

;
.

Следовательно, в точке
данная функция имеет минимум, а именно
.

Исследуем критическую точку
:

,
,
,


.

Следовательно, вторая критическая точка не является точкой экстремума функции.

2) Функция
определена всюду. Ее частные производные первого порядка
и тоже существуют всюду. Решая систему уравнений
,
найдем единственную критическую точку
.

Для исследования критической точки применим теорему 8.2. Имеем:

,
,
,

,
,
,

.

Установить наличие или отсутствие экстремума в точке
с помощью теоремы 8.2 не удалось.

Исследуем знак приращения функции в точке
:

Если
, то
;

если
, то
.

Поскольку
не сохраняет знак в окрестности точки
, то в этой точке функция не имеет экстремума.

Определения максимума и минимума и необходимые условия экстремума легко переносятся на функции трех и более числа переменных. Достаточные условия экстремума для функции (
) переменных ввиду их сложности в данном курсе не рассматриваются. Определять характер критических точек в этом случае мы будем по знаку приращения функции. 2. Наибольшее и наименьшее значения функции.Пусть функция двух переменных
определена в некоторой области
плоскости
,
,
– точки этой области. Значение функции в точке
называется наибольшим , если для любой точки
из области
выполняется неравенство

.

Аналогично значение функции в точке
называется наименьшим , если для любой точки
из области
выполняется неравенство

.

Ранее, мы уже говорили, что если функция непрерывна, а область
– замкнута и ограничена, то функция принимает в этой области свое наибольшее и наименьшее значения. При этом точки
и
могут лежать как внутри области
, так и на ее границе. Если точка
(или
) лежит внутри области
, то это будет точка максимума (минимума) функции
, т.е. критическая точка функции внутри области
. Поэтому для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции
в области
нужно:
.

Определение 1.11 Пусть задана функция двух переменных z=z(x,y), (x,y) D . ТочкаM 0 (x 0 ;y 0 ) - внутренняя точка областиD .

Если в D присутствует такая окрестностьUM 0 точкиM 0 , что для всех точек

то точка M 0 называется точкой локального максимума. А само значениеz(M 0 ) - локальным максимумом.

А если же для всех точек

то точка M 0 называется точкой локального минимума функцииz(x,y) . А само значениеz(M 0 ) - локальным минимумом.

Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функции z(x,y) . На рис. 1.4 поясняется геометрический смысл локального максимума:M 0 - точка максимума, так как на поверхностиz =z (x,y) соответствующая ей точкаC 0 находится выше любой соседней точкиC (в этом локальность максимума).

Заметим, что на поверхности в целом есть точки (например, В ), которые находятся вышеC 0 , но эти точки (например,В ) не являются "соседними" с точкойC 0 .

В частности, точке В соответствует понятие глобального максимума:

Аналогично определяется и глобальный минимум:

Нахождение глобальных максимумов и минимумов будет рассмотрено в п.1.10.

Теорема 1.3 (необходимые условия экстремума).

Пусть задана функция z =z (x,y), (x,y) D . ТочкаM 0 (x 0 ;y 0 D - точка локального экстремума.

Если в этой точке существуют z" x иz" y , то

Геометрическое доказательство "очевидно". Если в точке C 0 на (рис.1.4) провести касательную плоскость, то она "естественно" пройдет горизонтально, т. е. под углом0° к осиОх и к осиОу .

Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных (рис.1.3):

что и требовалось доказать.

Определение 1.12.

Если в точке M 0 выполняются условия (1.41), то она называется стационарной точкой функцииz (x,y) .

Теорема 1.4 (достаточные условия экстремума).

Пусть задана z =z (x,y), (x,y) D , которая имеет частные производные второго порядка в некоторой окрестности точкиM 0 (x 0 ,y 0 ) D . ПричемM 0 - стационарная точка (т. е. необходимые условия (1.41) выполнены). Вычислим:

Доказательство теоремы использует темы (формула Тейлора функции нескольких переменных и теория квадратичных форм), которые в этом пособии не рассматриваются.

Пример 1.13.

Исследовать на экстремум:

1. Найдём стационарные точки, решая систему (1.41):

то есть найдены четыре стационарные точки. 2.

по теореме 1.4 в точке – минимум. Причём

по теореме 1.4 в точке

Максимум. Причём

§10 Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области

Теорема 1.5 Пусть в замкнутой области D задана функция z=z(x,y) , имеющая непрерывные частные производные первого порядка. ГраницаГ областиD является кусочно гладкой (т. е. состоит из кусков "гладких на ощупь" кривых или прямых). Тогда в областиD функцияz(x,y) достигает своего наибольшегоM и наименьшегоm значений.

Без доказательства.

Можно предложить следующий план нахожденияM иm . 1. Строим чертёж, выделяем все части границы областиD и находим все "угловые" точки границы. 2. Находим стационарные точки внутриD . 3. Находим стационарные точки на каждой из границ. 4. Вычисляем во всех стационарных и угловых точках, а затем выбираем наибольшееM и наименьшееm значения.

Пример 1.14 Найти наибольшее M и наименьшееm значения функцииz = 4x2-2xy+y2-8x в замкнутой областиD , ограниченной:x = 0, y = 0, 4x+3y=12 .

1. Построим область D (рис. 1.5) на плоскостиОху .

Угловые точки: О (0; 0), В (0; 4), А (3; 0) .

Граница Г областиD состоит из трёх частей:

2. Найдём стационарные точки внутри области D :

3. Стационарные точки на границах l 1 , l 2 , l 3 :

4. Вычисляем шесть значений:

Из полученных шести значений выбираем наибольшее и наименьшее.