Свободные колебания системы с двумя степенями свободы. Малые свободные колебания системы с двумя степенями свободы Критические частоты возмущающей силы

14.02.2024

В частном случае системы с двумя степенями свободы квадратичные формы Т, П, Ф будут соответственно равны

а дифференциальные уравнения малых колебаний примут вид

Рассмотрим свободные колебания консервативной системы. В этом случае

и дифференциальные уравнения принимают вид:

Начальные условия для имеют вид:

В силу положительной определенности квадратичной формы кинетической энергии обобщенные инерционные коэффициенты удовлетворяют соотношениям

а аналогичные соотношения для квазиупругих коэффициентов

являются достаточными условиями устойчивости положения равновесия системы.

Коэффициенты и , связывающие в уравнениях (4.5) обобщенные координаты и , называют соответственно коэффициентами инерционной и упругой связи. Если в колебательной системе коэффициент , ее называют системой с упругой связью, а если – системой с инерционной связью.

Парциальной системой, соответствующей обобщенной координате , называют условную колебательную систему с одной степенью свободы, получаемую из исходной системы, если наложить запрет на изменение всех обобщенных координат, кроме . Парциальными частотами называют собственные частоты парциальных систем:

Поскольку уравнения (4.5) содержат только обобщенные координаты и их вторые производные по времени, ищем их решение в виде

где – пока неопределенные величины.

Подставив (4.8) в (4.5) и приравняв коэффициенты при синусах, получим однородную алгебраическую систему относительно и :

Для того, чтобы однородная алгебраическая система (4.9) имела ненулевое решение, она должна быть вырожденной, т.е. ее определитель должен равняться нулю:

Следовательно, решение (4.7) будет иметь смысл только при тех значениях , которые удовлетворяют условию (4.9). Раскрывая (4.10), получаем

Уравнение, представленное в форме (4.10), (4.11) или (4.12) называют частотным. Как видно из (4.12) частотное уравнение – биквадратное уравнение. Найденные из (4.10)–(4.12) значения называют собственными частотами колебаний системы.

Исследование корней частотного уравнения позволяет сделать следующие выводы:

1) если положение равновесия устойчивое, то оба корня частотного уравнения положительны;

2) первая собственная частота системы всегда меньше меньшей парциальной частоты, а вторая – больше большей парциальной частоты.

Для колебательных систем с упругой связью ( = 0) справедливо равенство

Запишем два частных независимых решения, соответствующих частотам и , в виде

где вторая цифра в индексе соответствует номеру частоты, или номеру тона колебаний.

Константы не являются независимыми, так как система (4.9) вырожденная. Коэффициенты связаны между собой соотношениями

Где . (4.15)

Где . (4.16)

С учетом (4.15) и (4.16) частные решения (4.14) будут иметь вид

Колебания, уравнения которых имеют вид (4.17) называют главными колебаниями. Они представляют собой гармонические колебания с частотами и соответственно. Коэффициенты называют коэффициентами распределения амплитуд. Они характеризуют отношение амплитуд в главных колебаниях или форму главных колебаний.

Коэффициенты распределения амплитуд и, следовательно, формы главных колебаний, как и собственные частоты, определяются параметрами самой колебательной системы и не зависят от начальных условий. Поэтому формы колебаний называют, так же как и частоты, собственными формами колебаний при колебаниях по соответствующему тону.

Общее решение системы уравнений (4.5) может быть представлено как сумма найденных частных решений (4.17)

Общее решение содержит четыре неопределенные постоянные , которые должны определяться из начальных условий (4.6).

При произвольных начальных условиях обе константы и отличны от нуля. Это означает, что изменение во времени каждой обобщенной координаты будет представлять собой сумму гармонических колебаний с частотами и . А такие колебания являются не только не гармоническими, но в общем случае и не периодическими.

Рассмотрим случай свободных колебаний системы, когда собственные частоты колебаний системы и мало отличаются друг от друга:

Обозначим разность аргументов синусов в общем решении (4.18) уравнений свободных колебаний

При величина , а с возрастанием времени эта зависимость из-за малости увеличивается очень медленно. Тогда

С учетом последнего равенства, общее решение уравнений свободных колебаний (4.18) может быть записано в виде:

В этих уравнениях

Так как выражения (4.21) зависят от и , а угол медленно изменяется с изменением времени, то рассматриваемые колебания (4.20) будут колебаниями с периодически изменяющейся амплитудой. Период изменения амплитуды в этом случае значительно больше периода колебаний (рис. 4.1). Если коэффициенты распределения амплитуд и имеют разные знаки, то максимуму соответствует минимум и наоборот. При усилении первого главного колебания интенсивность второго главного колебания уменьшается и наоборот, то есть энергия движения системы периодически оказывается как бы сосредоточенной то в одном, то в другом звене этой вибрирующей системы. Такое явление называют биением.

Возможен другой подход к решению задачи о свободных колебаниях системы – найти какие-то новые обобщенные координаты и называемые нормальными или главными , для которых при любых начальных условиях движение будет одночастотным и гармоническим.

Зависимость между обобщенными координатами и , выбранными произвольно, и главными координатами и можно выразить так:

где и – коэффициенты распределения амплитуд (коэффициенты формы). Можно показать, что переход от исходных координат к главным приводит квадратичные формы кинетической и потенциальной энергии к каноническому виду:

Подставив полученные для и выражения (4.23) в уравнения Лагранжа второго рода, получим уравнения малых колебаний системы в главных координатах: . Выражения кинетической и потенциальной энергии будут иметь канонический вид: и

Системы с двумя степенями свободы являются частным случаем систем с несколькими степенями свободы. Но эти системы являются простейшими, позволяющими еще получить в конечном виде расчетные формулы для определения частот колебаний, амплитуд и динамических прогибов.

yПрогибы балки от действия инерционных сил:

P 2 =1(1)

Знаки (-) в выражениях (1) вызваны тем, что инерционные силы и ед. перемещения имеют противоположное направление.

Считаем, что колебания масс совершаются по гармоническому закону:

(2)

Найдем ускорения движения масс:

(3)

Подставляя выражение (2) и (3) в уравнение (1) получим:

(5)

Неизвестными считаем амплитуды колебаний А 1 и А 2 , преобразуем уравнения:

(6)

Решение системы однородных уравнений А 1 = А 2 =0 нас не устраивает, чтобы получит не нулевое решение прировняем нулю детерминант системы (6):

(7)

преобразуем уравнение (8), считая неизвестной круговую частоту собственных колебаний :

Уравнение (9) называется бигармоническим уравнением свободных колебаний систем с двумя степенями свободы.

Заменяя переменную  2 =Z, получим

отсюда определяем Z 1 иZ 2.

В результате можно сделать следующие выводы:

1. Свободные колебания систем с двумя степенями свободы происходят с двумя частотами  1 и 2 . Более низкая частота 1 называется основной или основным тоном, более высокая частота 2 - называется второй частотой или обертоном.

Свободные колебания систем с n-степенями свободы являютсяn-тонными, состоящими изnсвободных колебаний.

2. Перемещения масс m 1 иm 2 выражаются следующими формулами:

т.е., если колебания происходят с частотой  1 ,, то в любой момент времени перемещения масс имеют одинаковые знаки.

Если колебания происходят только с частотой  2 ,, то перемещения масс в любой момент времени имеют противоположные знаки.

При одновременном колебании масс с частотами  1 и 2 система в основном колеблется по частоте 1 и в эти колебания вписывается обертон с частотой 2 .

Если на систему с двумя степенями свободы действуют вынуждающая сила с частотой , то необходимо чтобы:

  0,7  1 .

Лекция 9

Колебания систем с бесконечным числом степеней свободы.

Теория механических колебаний имеет многозначисленные и весьма разнообразные приложения едва ли не во всех областях техники. Независимо от назначения и конструктивного решения различных механических систем их колебания подчиняются одним и тем же физическим закономерностям, изучение которых и составляет предмет теории колебаний упругих систем. Наиболее полно разработана линейная теория колебаний. Теория колебаний систем с несколькими степенями свободы была дана еще в XVIII веке Лагранжем в его классическом труде "Аналитическая механика".

Жозеф Луи Лагранж (1736 - 1813) - с 19-летнего возраста профессор математики в Турине. С 1759 года - член, а с 1766 года - президент Берлинской Академии наук; с 1787 года жил в Париже. В 1776 году был избран почетным иностранным членом Петербургской Академии наук.

В конце XIX века Рэлеем были заложены основы линейной теории колебаний систем с бесконечной степенью степеней свободы (т.е. с непрерывным распределением массы по всему объему деформируемой системы). В XX веке линейная теория, можно сказать, была завершена (метод Бубнова-Галеркина, который позволяет с помощью последовательных приближений определять также высшие частоты колебаниий).

Джон Уильям Стретт (лорд Рэлей) (1842 - 1919) - английский физик, автор ряда работ по теории колебаний.

Иван Григорьевич Бубнов (1872 - 1919) - один из основоположников строительной механики корабля. Профессор Петербургского политехнического института, с 1910 года - Морской академии.

Борис Григорьевич Галеркин (1871- 1945) - профессор Ленинградского политехнического института.

Формула Рэлея наиболее популярна в теории колебаний и устойчивости упругих систем. Идея, лежащая в основе вывода формулы Рэлея, сводится к следующему. При моногармонических (однотонных) свободных колебаниях упругой системы с частотой , перемещения ее точек совершаются во времени по гармоническому закону:

где  1 (x,y,z), 2 (x,y,z), 3 (x,y,z) - функции пространственных координат точки, определяющие рассматриваемую форму колебаний (амплитудную).

Если эти функции известны, то частоту свободных колебаний можно найти из условия постоянства суммы кинетической и потенциальной энергии тела. Это условие приводит к уравнению, содержащему лишь одну неизвестную величину.

Однако указанные функции заранее неизвестны. Руководящая идея метода Рэлея состоит в том, чтобы задаваться этими функциями, сообразуя их выбор с граничными условиями и ожидаемой формой колебаний.

Подробнее рассмотрим реализацию этой идеи для плоских изгибных колебаний стержня, форма колебаний описывается функцией =(x). Свободные колебания описываются зависимостью

потенциальная энергия изогнутого стержня

(2)

кинетическая энергия

(3)

где l - длина стержня, m=m(x) интенсивность распределенной массы стержня;

Кривизна изогнутой оси стержня;- скорость поперечных колебаний.

Учитывая (1)

(4)

(5)

С течением времени каждая из этих величин непрерывно меняется, но, согласно закону сохранения энергии их сумма остается постоянной, т.е.

или подставляя сюда выражения (4), (5)

(7)

Отсюда следует формула Рэлея:

(8)

Если со стержнем с распределенной массой m, связаны сосредоточенные грузы с массами M i , то формула Рэлея приобретает вид:

(9)

Весь ход вывода показывает, что в рамках принятых допущений (справедливость технической теории изгиба стержней, отсутствия неупругих сопротивлений) эта формула точная, если (x) - истинная форма колебаний. Однако функция(x) заранее неизвестна. Практическое значение формулы Рэлея состоит в том, что с ее помощью можно найти собственную частоту, задаваясь формой колебаний(x). При этом в решение вностися более или менее серьезный элемент приближенности. По этой причине формулу Рэлея иногда называют приближенной.

m=cosntПримем в качестве формы колебаний функцию:(x)=ax 2 , которая удовлетворяет кинематическим граничным условиям задачи.

Определяем:

По формуле (8)

Этот результат значительно отличается от точного

Более точной является формула Граммеля, которая до сих пор еще не стала такой популярной, как формула Рэлея (возможно, вследствие своей относительной "молодости" - она предложена в 1939 году).

Снова остановимся на той же задаче о свободных изгибных колебаниях стержня.

Пусть (x) - задаваемая форма свободных колебаний стержня. Тогда интенсивность максимальных сил инерции определяется выражением m 2 , где по прежнему m=m(x) - интенсивность распределенной массы стержня; 2 - квадрат собственной частоты. Эти силы достигают указанного значения в тот момент, когда прогибы максимальны, т.е. определяются функцией(x).

Запишем выражение наибольшей потенциальной энергии изгиба через изгибающие моменты, вызываемые максимальными силами инерции:

. (10)

Здесь - изгибающие моменты, вызываемые нагрузкой m 2 . Обозначим изг - изгибающий момент, вызываемый условной нагрузкой m, т.е. в 2 раз меньший, чем силы инерции.

, (11)

и выражение (10) можно записать в виде:

. (12)

Наибольшая кинетическая энергия, как и выше

. (13)

Приравнивая выражения (12) и (13) приходим к формуле Граммеля:

(14)

Для вычислений по этой формуле необходимо прежде всего задаться подходящей функцией (x). После этого определяется условная нагрузка m=m(x)(x) и записываются выражения изг вызываемые условной нагрузкой m. По формуле (14) определяют частоту собственных колебаний системы.

Пример: (рассматриваем предыдущий)

m(x)·(x)=max 2

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

УДК 531.8:621.8

Д.М.Кобылянский, В.Ф.Горбунов, В.А.Гоголин

СОВМЕСТИМОСТЬ ВРАЩЕНИЯ И КОЛЕБАНИЙ ТЕЛ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

Рассмотрим плоское тело Т, на которое наложены три идеальные связи, препятствующие только перемещениям тела по всем направлениям, как показано на рис.1а. Связями являются точки А, В, С, расположенные в вершинах равностороннего треугольника. Выбрав систему координат так, чтобы ее центр совпадал с центром треугольника и был совмещен с ним (рис.1а), имеем координаты связей: А(0;Я), Б(^л/3 /2; -Я/2), С^-Лд/э /2; -Я/2), где Я есть расстояние от центра треугольника до его вершин, то есть радиус окружности проходящей через точки А, В, С. В таком положении тело будет иметь одну степень свободы, только в том случае, если нормали к ее границе в точках А, В, С пересекаются в одной точке, которая будет мгновенным центром скоростей. В противном случае число степеней свободы тела равно нулю и оно не может не только поступательно перемещаться, но и совершать вращательное движение. Когда тело имеет одну степень свободы, оно может начать вращение с мгновенным центром вращения в точке пересечения указанных выше нормалей. Пусть эта точка будет началом координат, точкой О. Если мгновенный центр вращения не изменяет своего положения, то единственно возможная форма тела Т -круг радиуса Я с центром в точке О.

Возникает задача - существуют ли другие формы тела, позволяющие ему вращаться относительно некоторого подвижного центра так, чтобы гра-

ница тела непрерывно проходила через три точки А, В, С без нарушения этих связей? В известной нам литературе такая задача не рассматривалась и по-видимому решается впервые.

Для решения этой задачи рассмотрим сначала движение треугольника АВС как жесткого тела, относительно системы координат Х1О1У1, связанной с телом Т (рис.1б). Тогда, если движение треугольника происходит так, что его вершины непрерывно остаются на границе тела при полном повороте треугольника на 360°, то и обратно тело будет совершать требуемое движение относительно неподвижного треугольника АВС и связанной с ним системы координат ХОУ.

Движение треугольника АВС зададим как поворот относительно центра О и перемещения центра О по оси ОіХі на/(г), по оси ОіУі на g(t). Тогда параметрическое уравнение траектории точки А будет иметь вид: х=гяШ +/(г) ; уі=г-єо,?ґ +g(t), ґє (1)

Так как при г=0 точка О должна совпадать с точкой О1, то должно выполнятся условие /(0)= g(0)=0. Потребуем, чтобы при повороте на угол г=2п/3 точка А совпадет с точкой В1, точка В - с точкой Сі, а точка С

С точкой А1. При повороте на угол г=4п/3 точка А должна перейти в точку С1, точка В - в точку А1, а точка С - в точку В1. Объединение данных требований на движение вершин треугольника приводит к условиям на значения функций перемещения центра вращения /(0)=/(2 п/3)=/(4 п/3)=0; g0)=g(2л/3)=g(4л/3)=0 . (2) Условиям (2) удовлетворяет широкий класс функций, в частности функции вида sin(3mt/2), где т целое, и их линейные комбинации с переменными в общем случае коэффициентами вида:

Н (г) = ^ Ьт (г) 8Іп(3тґ / 2)

Кроме того, в качестве

Рис.1. Расчетная схема: а) - положение неподвижного тела и его связей в системе ХОУ; б) - положение неподвижной системы Х1О1У1, связанной с телом, и подвижной системы ХОУ, связанной с треугольником АВС

Теоретическая механика

Рис.2. Формы тел и траектории движения их центров вращения

Рис. 3. Положение тела при повороте на угол ри соответствующая траектория движения его центра вращения

функций перемещения могут быть взяты функции, определяющие замкнутые кривые, такие например, как циклоиды, трохоиды, лемнискаты, с подходящими по условию (2) параметрами. При этом все возможные функции должны быть периодическими с периодом 2п/3.

Таким образом, система параметрических уравнений (1) с условиями на значения функций /(^, g(t) (2) или в их виде (3) дает искомое уравнение границы тела Т. На рис.2 представлены примеры возможных форм тела, удовлетворяющих условиям поставленной задачи. В центре каждого рисунка показана траектория центра вращения О1, а точечные связи А, В, С увеличены для их лучшей визуализации. Эти примеры показывают, что даже простые виды функций из класса, определяемого выражением (3) с постоянными коэффициентами, дают нам достаточно широкий набор кривых, описывающих границы тел, совершающих вращение и

колебания одновременно при наличии только одной степени свободы. Граничные кривые а), в) на рис.2 соответствуют перемещению центра вращения только по горизонтальной оси

ОіХі по гармоническому закону, и как видно имеют две оси симметрии и могут быть как чисто выпуклыми, овальными (рис. 2а), так и сочетать выпуклость с вогнутостью (рис.2б). При вертикальном и горизонтальном гармоническом законе с одинаковой амплитудой перемещения центра вращения граничные кривые теряют симметричность (рис. 2 в,г). Существенное влияние частоты гармонических колебаний на форму граничной кривой тела показано на рис.2 д, е. Не проводя в данной работе полный анализ влияния амплитуды и частоты на форму и геометрические свойства граничных кривых, хотелось отметить, что представленные примеры на рис.2 уже показывают возможность решения технических задач по выбору нужной формы

тела для совмещения его вращательного движения с колебаниями в плоскости вращения.

Рассматривая теперь перемещение тела относительно неподвижной системы координат ХОУ, связанной с треугольником АВС, то есть переходя из системы координат Х1О1У1 в систему координат ХОУ, получим следующие параметрические уравнения граничной кривой тела при заданном угле поворота p x=cosp-

Cos p (4)

или с учетом уравнений (1) уравнения (4) принимают вид x = cosp-

- [ R cos(t) + g (t) - g (p)] sin p, y = sin p +

Cos p.

Уравнения (5) позволяют описать траекторию любой точки тела по ее заданным поляр-

t-g.i м*4<. п-і

t-ÍLÍtWM. д-0

Рис. 4. Варианты форм тел с различным числом связей, обеспечивающие совместность вращения и колебания тел

ным координатам R,t. В частности при R=0, t=0 имеем точку, совпадающую с началом координат Оь то есть центр вращения, траектория движения которого в рассматриваемой схеме описывается уравнениями, следующими из (5):

*0 = -f (ф) cos ф + g (ф) sin ф, y0 = - f (ф) sin ф- g (ф) cos р.

На рис.3 показан пример положений тела (рис.2б) при его повороте на угол ф, а в центре каждого рисунка показана траектория центра вращения

Оі , соответствующая повороту тела на этот угол. Технически несложно сделать анимацию

показанного движения тела на рис.3 вместо физической модели, однако рамки журнальной статьи могут это позволить только в электронном варианте. Показанный пример был все-таки

Обобщением рассмотренной задачи является система п идеальных связей в виде точек, расположенных в вершинах правильного «-угольника, препятствующих только поступательным перемещениям тела. Поэтому, как и в случае с треугольником, тело может начать совершать поворот относительно центра вращения, являющегося точкой пересечения нормалей к границе тела в точках связи. В этом случае уравнение траектории точки тела А, находящейся на оси ОУ, и отстоящей от центра вращения на расстоянии Я, будет иметь такой же вид как и (1). Условия на значения функций перемещения центра вращения (2) в этом случае примут

Кобылянский Горбунов

Дмитрий Михайлович Валерий Федорович

Аспирант каф. стационарных и - докт. техн. наук, проф. каф. ста-

транспортных машин ционарных и транспортных машин

f(2kп/п)=g(2kп/п)=0. (7)

Условию (7) соответствуют периодические функции с периодом 2п/п, например 8т(п-т4/2), а также их линейные комбинации вида (3) и другие функции, описывающие замкнутые кривые. Аналогичные, указанным выше, рассуждения приводят к тем же уравнениям (4-6), позволяющим рассчитать форму тела, его положения при повороте и траекторию центра вращения при согласованных с вращением колебаниях тела. Примером таких расчетов служит рис.4, на котором пунктирной линией показано начальное положение тел, сплошной линией - положение тел при повороте на угол л/3 , а в центре каждого рисунка полная траектория центра вращения при полном повороте тела. И хотя в этом примере рассмотрено только горизонтальное перемещение центра вращения О, как центра п-угольника, полученные результаты показывают широкий спектр возможных форм тела с одной степенью свободы, сочетающего вращательное движение с колебаниями при наличии четырех, пяти и шести связей.

Полученная методика расчета совместности движений вращения и колебания тел с одной степенью свободы может также быть без каких-либо дополнений использована и для пространственных тел, у которых запрещены перемещения по третьей координате и повороты в других координатных плоскостях.

Гоголин Вячеслав Анатольевич

Докт. техн. наук, проф. каф. прикладной математик и

Рассмотрим малые колебания системы с двумя степенями свободы, на которую действуют силы потенциального поля и силы, периодически меняющиеся по времени. Возникающие при этом движения системы носят название вынужденных колебаний.

Пусть возмущающие обобщенные силы меняются по гармоническому закону от времени, имея равные периоды и начальную фазу. Тогда уравнения движения рассматриваемой системы будут вида:

Уравнения движения в рассматриваемом случае представляют собой систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью.

Переход к главным координатам

Для удобства исследования уравнений движения перейдем в них к главным координатам системы Связь между координатами определяется формулами предыдущего параграфа вида:

Обозначим через соответственно обобщенные силы, соответствующие нормальным координатам Так как обобщенные силы представляют собой коэффициенты при соответствующих вариациях обобщенных координат в выражении элементарной работы действующих на систему сил, то

Следовательно:

Таким образом, уравнения движения в главных координатах приобретают вид:

Уравнения вынужденных колебаний системы с двумя степенями свободы в нормальных координатах независимы друг от друга и могут интегрироваться отдельно.

Критические частоты возмущающей силы

Уравнение для или определяет колебательный характер изменения нормальных координат, подробно изученный при рассмотрении вынужденного колебания точки по прямой, так как дифференциальные уравнения движения в обоих случаях одинаковы. В частности, если частота возмущающей силы равна частоте одного из собственных колебаний системы или то в решение в качестве множителя войдет время t. Следовательно, одна из нормальных обобщенных координат при достаточно большом t будет сколь угодно велика, или мы имеем явление резонанса.

Пусть дана система с двумя степенями свободы и - обобщенные координаты. Кинетическая и потенциальная энергия системы дается формулами (10.2):

Функции Т и П определенно положительны, а потому:

Подставив (10.2) в (10.12), получим дифференциальные уравнения малых колебаний системы с двумя степенями свободы:

Система имеет нулевое решение A=B=0, соответствующее устойчивому положению равновесия. Для ненулевых решений составим из (10.15) отношение:

Квадратное (относительно ) уравнение (10.18) в силу неравенств устойчивости имеет два вещественных положительных корня. Расположим их в порядке возрастания:

Для второго главного колебания:

(10.21)

Главные колебания являются колебаниями гармоническими.

Подставив поочередно и в (10.16), найдем связи между амплитудами A и B в главных колебаниях: . Множители и называют коэффициентами собственных форм (коэффициентами распределения амплитуд). Они могут быть как положительными, так и отрицательными. При обе координаты в главном колебании находятся в одной фазе; при - в противофазе.

Результирующее движение по каждой координате будет суммой двух главных колебаний:

(10.22)

где - зависят от начальных условий, - от начальных условий не зависят и определяются параметрами самой колебательной системы. В общем случае частоты и несоизмеримы, а потому результирующее движение не будет периодическим.

1. Определить собственные частоты и собственные формы колебаний (малых) двойного математического маятника, образованного двумя материальными точками равной массы m и двумя стержнями длиной каждый.

Подобная система в общем виде была рассмотрена в примере 2 (§34). Воспользуемся полученными там формулами (2) и (3).

При , получим:

Так как колебания малые, то с точностью до малых второго порядка включительно:

(3)

С учетом (3) из (1), замечаем:

(4)

Сравнивая (4) и (2), замечаем:

Раскрывая уравнение (7.52) частот, получим:

Из (9.50) находим коэффициенты распределения: .

Первое главное колебание:

Движение в фазе - в каждое мгновение стержни вращаются в одном направлении.

Второе главное колебание:

Движение в противофазе – в каждое мгновение стержни вращаются в прямо противоположных направлениях.

Формы колебаний показаны на рис. 50. Во втором главном колебании имеется особенная точка F, которая остается неподвижной. Такие точки называют узлами. Концевая точка O к узлам не относится.

2. Два твердых тела с массами и и две пружины, жесткостью и , объединены в систему, которая располагается на гладкой горизонтальной плоскости и может совершать малые прямолинейные колебания.